Arkusz kalkulacyjny Excel

Badanie ciągów liczbowych


Rozmnażanie się małp

1.      Najstarszy model matematyczny wzrostu populacji znaleźć można w pochodzącej z 1220 pracy Leonarda z Pizzy (zwanego także Fibonnacim). Zastosujemy jego rozważania do opisu liczebności stada małp. Początkowo mamy jedną parę młodych (niedojrzałych) małp. W ciągu sezonu (rok lub parę lat)  para ta staje się dorosła (dojrzewa), po czym w każdym następnym sezonie rodzi jedną parę młodych małp. Oczywiście te nowe pary młodych małp również dorastają w ciągu sezonu, po czym także rodzą co sezon po jednej parze młodych. Oznaczmy liczbę par dorosłych małp w n-tym sezonie przez Mn, a liczbę par młodych małp przez In. Początkowy sezon rozpoczynamy od wartości M0 = 0 i I0 = 1. Reguły wzrostu liczby małp w następnych sezonach mają postać:

In + 1 = Mn,
Mn + 1 = Mn + In.

Oznacza to, że w sezonie n + 1 pary dorosłych małp w liczbie Mn rodzą Mn par młodych małp, co daje wartość In + 1. Równocześnie dorasta In par młodych małp z poprzedniego sezonu zwiększając dotychczasową liczbę Mn par dorosłych małp. To z kolei daje wyrażenie na Mn + 1.

  1. Otwórz program Excel i utwórz w nim nowy arkusz. Następnie korzystając z przykładu poniżej wpisz tabelkę ilustrującą liczebność stada małp w poszczególnych sezonach. Wskazówka: aby wygenerować daty sezonów w kolumnie A wpisz daty dwóch pierwszych sezonów, zaznacz je i przeciągnij w dól uchwyt Autowypełnienia. Program Excel rozpozna długośc sezonu w latach i automatycznie wygeneruje daty następnych sezonów:

  2. Wpisz wzory opisujące liczebność stada małp w następnym sezonie. Korzystając z funkcji Autowypełnienia skopiuj je do wierszy odpowiadających kolejnym sezonom:



  3. Zaznacz kolumny B i C, a następnie klikając w odpowiedni przycisk na pasku narzędziowym uruchom kreatora wykresów:



    wybierz wykres typu liniowego i wciśnij przycisk Dalej:



    przełącz kartę na „Serie”, wejdź do pola „etykiety osi kategorii”:



    a następnie zaznacz lata (bez nagłówka „rok”!) z kolumny A:



    i wreszcie kliknij w przycisk Zakończ. Twój wykres powinien wyglądać tak:




5.      Klikając gdzieś w obszarze wykresu możesz przesunąć go tak, aby nie zasłaniał liczb. Widzimy, że po początkowym dość wolnym wzroście populacji stada małp następuje prawdziwa eksplozja demograficzna. Aby zbadać jej charakter zmienimy skalę osi pionowej na logarytmiczną. W tym celu kliknij w oś pionową (oś wartości) wykresu i wciśnij przycisk Formatuj osie:



przejdź na kartę „Skala” i zaznacz punkt „Skala logarytmiczna”:




6.      Po zignorowaniu komunikatów o błędach (spowodowanych zerową liczbą małp w pierwszych „chudych” latach) powinieneś otrzymać wykres postaci linii prostej:



oznacza to, że logarytm liczby małp zmienia się jak numer sezonu razy logarytm pewnej innej liczby (plus ewentualnie jakaś stała). Inaczej mówiąc liczba małp w danym sezonie o numerze n jest n-tą potęgą pewnej liczby (razy ewentualnie jakaś stała). Widzimy więc, że eksplozja demograficzna ma charakter wzrostu wykładniczego.


7.      Rzeczywiście można ściśle pokazać, że:

Mn jest liczbą całkowitą najbliższą tn / Ö5
In jest liczbą całkowitą najbliższą tn-1 / Ö5

W każdym sezonie liczba małp wzrasta o czynnik:

t = (1 + Ö5) / 2

Użyjemy teraz programu Excel, aby sprawdzić słuszność tej nowej postaci rozwiązania problemu rozmnażania się małp. Wybierz jakąś wolną komórkę arkusza i wpisz do niej formułę obliczającą wartość t (wskazówka: do obliczania pierwiastka z 5 wykorzystaj funkcję Excela o nazwie … PIERWIASTEK):



Wpisując odpowiedni tekst w polu nazwy nadaj tej komórce nazwę „tau”:



Teraz wpisz do komórki D2 przybliżoną wartość M0 daną przez 1 / Ö5:



następnie do komórki D3 wpisz wzór na M1:



i skopiuj go do pozostałych komórek kolumny D:




8.      Zrób wykres porównujący rozwiązanie dokładne i przybliżone. Zgodność jest bardzo dobra.:




9.      Nowa postać wzoru na liczebność stada małp pozwoli nam teraz dodać do modelu ograniczenie na wykładniczy wzrost populacji. W najprostszy sposób można to zrobić zastępując wzór:

Mn+1 = t Mn

przez

Mn+1 = t Mn  (1 - Mn / Mmax )

gdzie Mmax oznacza maksymalna dopuszczalną liczbę małp. Działa to w ten sposób, że jeśli w którymś sezonie liczba małp osiągnie Mmax to w następnym wszystkie zginą z braku pożywienia… Aby zaprogramować ten nowy wzór w programie Excel wybierz najpierw pewna komórkę arkusza, nadaj jej nazwę „maks” i wpisz maksymalną liczbę małp, która skłonny byłbyś jeszcze tolerować:



Teraz przejdź do komórki D3 i zmień wpisany tam wzór tak jak w przykładzie poniżej:



A następnie rozciągnij go na pozostałe komórki kolumny D:



i zrób wykres ilustrujący nowe zachowanie się małp:




10.  Widzimy, że małpy są inteligentne, i stabilizują swoją liczebność na poziomie około Mmax / 2, aby nie zginąć z głodu. Szybkość rozmnażania się małp opisywana jest w naszym modelu przez parametr t. Wartość t = (1 + Ö5) / 2 = 1.618034 odpowiada sytuacji, gdy każda para dorosłych małp rodzi tylko jedną parę młodych małp. Większe wartości parametru t opisywałyby większą liczbę małp-dzieci rodzonych w każdym sezonie. Zmieniając parametr t spróbuj uzyskać oscylacje liczby małp:



zachowanie chaotyczne (przewidywalne, ale nieokresowe):



i wreszcie pokaż, że dla dostatecznie dużych wartości t (> 4) wszystkie małpy giną (dlaczego?):